Materi Matematika Diskrit : Teori Graf (Graph Theory)

May 04, 2022

Assalamu‘alaikum Wr. Wb.

Halo guys! Pada Postingan sebelumnya sudah membahas tentang Logika dan Aljabar Boolean. Sekarang giliran membahas tentang Teori Graf (Graph Theory) untuk Mata Kuliah (Matkul) Matematika Diskrit (Matdis).

Sumber Materi : Academia.edu (PDF) (✔), Slideshare.net (PPT), Wikipedia.org, Dictio.id, Medium.com (@vaidehijoshi), dan Studocu.com (PDF)

Pemakaian teori graf telah banyak dirasakan dalam berbagai ilmu, antara lain : optimisasi jaringan, ekonomi, psikologi, genetika, riset operasi (OR), dan lain-lain. Makalah pertama tentang teori graf ditulis pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler. Ia menggunakan teori graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg (sekarang, bernama Kaliningrad). Berikut adalah ilustrasi masalah tersebut :

Masalah Jembatan Königsberg (Rossen, 2003)

Masalah yang dikemukakan Euler : Dapatkah melewati setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula? Berikut adalah sketsa yang merepresentasikan ilustrasi Jembatan Königsberg yang pada gambar diatas. Himpunan titik yaitu {A, B, C, D} merepresentasikan sebagai daratan, dan garis yang menghubungkan titik-titik tersebut adalah sebagai jembatan.

Representasi Graf pada masalah Jembatan Königsberg

Jawaban pertanyaan Euler adalah tidak mungkin. Agar bisa melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula maka jumlah jembatan yang menghubungkan setiap daratan harus genap.

A. Pengertian Teori Graf

Teori Graf merupakan suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari graf digunakan untuk mengambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-objek agar lebih mudah dimengerti.

Graf merupakan struktur diskrit yang terdiri himpunan sejumlah berhingga obyek yang disebut simpul (vertices, vertex) dan himpunan sisi (edges) yang menghubungkan simpul-simpul terseut. terdiri dari dari Graf digunakan untuk merepresentasikan objekobjek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Notasi sebuah graf adalah G = (V, E), dimana :

V merupakan himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices), misalkan V = { v₁ , v₂ , ... , v_n }
E merupakan himpunan sisi-sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul, misalkan E = {e₁ , e₂ , ... , e_n }

Contoh :

Graf dari masalah jembatan Königsberg dapat disajikan sebagai berikut :

Misalkan graf tersebut adalah G(V, E) dengan :

V = {A, B, C, D}
E = {(A, C), (A, C), (A, B), (A, B), (B, D), (A, D), (C, D)} = {e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇}

Pada graf tersebut sisi e₁ = (A, C) dan sisi e₂ = (A, C) dinamakan sisi-ganda (multiple edges atau paralel edges) karena kedua sisi ini menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul A dan simpul C. Begitu pun dengan sisi e₃ dan sisi e₄. Sementara itu, pada graf diatas, tidak terdapat gelang (loop), yaitu sisi yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

Dari definisi graf, himpunan sisi (E) memungkinkan berupa himpunan kosong. Jika graf tersebut mempunyai himpunan sisi yang merupakan himpunan kosong maka graf tersebut dinamakan graf kosong (null graph atau empty graph).

Contoh :

Graf kosong dengan 3 simpul (Graf N₃).

Dengan memperhatikan kondisi sisinya, suatu graf dapat dikategorikan sebagai graf tidak berarah dan graf berarah. Graf tidak berarah, seperti telah dijelaskan pada contoh graf untuk Jembatan Königsberg. Sementara itu, graf berarah (directed graph, digraph) merupakan graf yang mempunyai sisi yang berarah, artinya satu buah simpul yang dihubungkan oleh sisi tersebut merupakan simpul awal (initial vertex) dan simpul yang lain dikatakan sebagai simpul akhir (terminal vertex).

Contoh :

Graf berikut merupakan graf berarah.

Terlihat bahwa e₁ = (P, S), e₃ = (R, Q), dan e₅ = (Q, Q)

Simpul P merupkan simpul awal bagi sisi e₁ dan simpul S merupakan simpul akhir bagi sisi e₁.

B. Terminologi Graf

Ada beberapa terminologi graf yang perlu diketahui, antara lain : ketetanggaan antara dua simpul, bersisian, derajat suatu simpul, dan lain-lain. Berikut ini adalah beberapa terminoogi yang penting, yaitu :

1. Bertetangga (Adjacent)

Dua buah simpul dikatakan bertetangga jika kedua simpul tersebut terhubung langsung oleh suatu sisi.

Contoh :

Perhatikan graf berikut ini.

Pada graf diatas menunjukkan bahwa simpul P bertetangga dengan simpul Q dan S, tetapi simpul P tidak bertetangga dengan simpul R.

2. Bersisian (Incidency)

Suatu sisi e dikatakan bersisian dengan simpul v₁ dan simpul v₂ jika e menghubungkan kedua simpul tersebut, dengan kata lain e = (v₁, v₂).

Contoh :

Perhatikan graf dari masalah jembatan Königsberg berikut ini.

Maka, e₁ bersisian dengan simpul A dan simpul C , tetapi sisi tersebut tidak berisian dengan simpul B.

3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex)

Jika suatu simpul tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya maka simpul tersebut dinamakan simpul terpencil.

Contoh :

Perhatikan graf berikut ini.

4. Derajat (Degree)

Derajat suatu simpul merupakan jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Misalkan, suatu simpul v mempunyai 3 buah sisi yang bersisian dengannya maka dapat dikatakan simpul tersebut berderajat 3, atau dinotasikan oleh d(v) = 3.

Contoh 1 :

Perhatikan graf berikut ini.

Pada graf diatas :

d(P) = d(Q) = d(S) = 5, sedangkan d(R) = 3.

Derajat sebuah simpul pada suatu graf berarah dijelaskan sebagai berikut :

d_in(v) merupakan jumlah busur yang masuk ke simpul v
d_out(v) merupakan jumlah busur yang keluar dari simpul v

Dengan demikian derajat pada simpul tersebut, diperoleh : d(v) = d_in(v) + d_out(v)

Contoh 2 :

Perhatikan graf berarah berikut ini.

Pada graf diatas :

d_in(P) = 1 dan d_out(P) = 3 maka d (P) = 4
d_in(Q) = 4 dan d_out(Q) = 1 maka d (Q) = 5
d_in(R) = 1 dan d_out(R) = 1 maka d (R) = 2
d_in(S) = 1 dan d_out(S) = 2 maka d (S) = 3

Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Jika G = (V, E) merupakan suatu graf, maka dapat ditulis :

Contoh 3 :

Perhatikan Graf pada Contoh 1. Jumlah sisi pada graf tersebut adalah 9, sehingga Jumlah derajat pada graf tersebut adalah :

Perhatikan Graf pada Contoh 2. Jumlah sisi pada graf tersebut adalah 7, sehingga Jumlah derajat pada graf tersebut adalah :

Dengan demikian, jika kita ingin menggambar sebuah graf dengan derajat masingmasing simpul diketahui, dan ternyata jumlah derajat seluruh simpul tersebut adalah ganjil maka hal ini tak mungkin terjadi.

6. Lintasan (Path)

Lintasan dari suatu simpul awal v₀ ke simpul tujuan v_T di dalam suatu graf G merupakan barisan sebuah sisi atau lebih (x₀, x₁), (x₁, x₂), (x₂, x₃), …, (x_n-1, x_n) pada G, dimana x₀= v₀ dan x_n = v_T. Lintasan ini dinotasikan oleh : x₀, x₁, x₂, x₃, …, x_n.

Lintasan ini mempunyai panjang n, karena lintasan ini memuat n buah sisi, yang dilewati dari suatu simpul awal v₀ ke simpul tujuan v_T di dalam suatu graf G. Suatu lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama dinamakan Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit).

Contoh :

Perhatikan graf berikut ini :

Pada graf tersebut lintasan P, Q, R memiliki panjang 2. Sementara itu lintasan P, Q, S, R memiliki panjang 3.
Lintasan P, Q, R, S, P dinamakan siklus atau sirkuit dengan panjang 4.
Antara simpul P dan U maupun T tidak dapat ditemukan lintasan.

7. Cut-Set

Cut-set dari suatu graf terhubung G adalah himpunan sisi yang jika dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah subgraf. Pada graf di bawah, {(1,4), (1,5), (2, 3), (2,4)} adalah cut-set. Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung. Himpunan {(1,5), (4,5)} juga adalah cut-set, {(1,4), (1,5), (1,2)} adalah cut-set, {(5,6)} juga cut-set,

tetapi {(1,4), (1,5), (4,5)} bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, {(1,5), (4,5)} adalah cut-set.

C. Beberapa Jenis Graf

Beberapa jenis graf tak berarah yang perlu diketahui adalah :

1. Graf Sederhana (Simple Graph)

Graf sederhana merupakan graf tak berarah yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda.

Contoh :

Graf Sederhana

2. Graf Ganda (Multigraph)

Graf ganda merupakan graf tak berarah yang tidak mengandung gelang (loop).

Contoh :

Graf Ganda

Dengan demikian, graf sederhana pun merupakan graf ganda (multi graph).

3. Graf Semu (Pseudo-Graph / Pseudograph)

Graf semu merupakan graf yang boleh mengandung gelang (loop).

Contoh :

Graf Semu

Beberapa jenis graf berarah yang perlu diketahui adalah :

1. Graf Berarah (Directed Graph / Digraph)

Graf berarah merupakan graf yang setiap sisinya mempunyai arah dan tidak mempunyai dua sisi yang berlawanan antara dua buah simpul (tak mempunyai sisi ganda).

Contoh :

Graf Berarah

2. Graf Ganda Berarah (Directed Multigraph)

Graf ganda berarah merupakan graf berarah yang membolehkan adanya sisi ganda pada graf tersebut (boleh mempunyai dua sisi yang berlawanan antara dua buah simpul).

Contoh :

Graf Ganda Berarah.

Dari jenis-jenis graf yang telah dijelaskan di atas, kita dapat membuat ringkasan (sebagai

bahan perbandingan), sebagai berikut :

Jenis

Sisi

Sisi ganda dibolehkan?

Gelang (loop) dibolehkan?

Graf sederhana

Graf ganda

Graf semu

Graf berarah

Graf ganda berarah

Tak-berarah

Bearah

Tidak

Jenis-jenis graf [Rosen, 2003]

Berikut ini adalah beberapa jenis dari graf yang perlu kita ketahui :

a. Graf Lengkap (Complete Graph)

Graf lengkap merupakan graf sederhana yang setiap simpulnya terhubung (oleh satu sisi) ke semua simpul lainnya. Dengan kata lain, setiap simpulnya bertetangga. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K_n. Jumlah sisi pada sebuah graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n∙(n – 1)/2 sisi.

Contoh :

Graf lengkap K_n, 1 ≤ n ≤ 6 (Rosen, 2003)

b. Graf Lingkaran (Cycle Graph)

Graf lingkaran merupakan graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan C_n.

Graf Lingkaran C_n, 3 ≤ n ≤ 6 (Rosen, 2003)

c. Graf Roda (Wheels Graph)

Graf roda merupakan graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu simpul pada graf lingkaran C_n, dan menghubungkan simpul baru tersebut dengan semua simpul pada graf lingkaran tersebut.

Grap Roda W_n, 3 ≤ n ≤ 5 (Rosen, 2003)

d. Graf Teratur (Regular Graphs)

Graf teratur merupakan graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama. Apabila derajat setiap simpul pada grap teratur adalah r, maka graf tersebut dinamakan graf teratur berderajat r. Jumlah sisi pada graf teratur dengan n simpul

Graf Reguler dengan Empat Simpul Berderajat 2 (Munir, 2003)

e. Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)

Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan dinamakan graf planar. Jika tidak, maka graf tersebut dinamakan graf tak-planar.

Contoh 1 :

Semua graf lingkaran merupakan graf planar
Graf lengkap K1, K2, K3, K4 merupakan graf planar

Tetapi graf lengkap K_n untuk n ≥ 5 merupakan graf tak-planar. Ilustrasi untuk graf planar K₄.

K₄ adalah graf planar (Munir, 2003)

Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan dinamakan graf bidang (plane graph).

Contoh 2 :

Tiga buah graf planar. Graf (b) dan (c) adalah graf bidang (Munir, 2003)

Contoh 3 :

Perhatikan ilustrasi graf planar berikut ini :

Maka graf planar diatas dikatakan terdiri dari 4 buah daerah.

Beberapa hal tentang graf planar G(V, E), antara lain :

(Formula Euler) Misalkan G merupakan graf planar terhubung dengan e buah sisi dan v buah simpul, dan r merupakan jumlah daerah pada graf planar tersebut maka r = e – v + 2.
Jika G merupakan graf planar terhubung dengan e buah sisi dan v buah simpul (v ≥ 3) maka e ≤ 3v – 6 (ketaksamaan Euler).
Jika G merupakan graf planar terhubung dengan e buah sisi dan v buah simpul (v ≥ 3) dan tidak memuat sirkuit dengan panjang 3 maka e ≤ 2v – 4.

f. Graf Bipartit (Bipartite Graph)

Sebuah graf sederhana G dikatakan graf bipartit jika himpunan simpul pada graf tersebut dapat dipisah menjadi dua himpunan tak kosong yang disjoint, misalkan V₁ dan V₂, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul pada V₁ dan sebuah simpul pada V₂. Dengan demikian, pada grap bipartit tidak ada sisi yang menghubungkan dua simpul pada V₁atau V₂.Graf bipartit tersebut dinotasikan oleh G(V₁, V₂).

Contoh :

Graf G berikut merupakan graf bipartit :

Graf diatas dapat direpresentasikan menjadi graf bipartite G(V₁, V₂), dimana V₁,= {a, b} dan V₂ = {c, d, e}.

Graf Bipartit

g. Graf Berbobot (Weighted Graph)

Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot).

D. Keterhubungan dan Sub Graf

Dua buah simpul v₁ dan simpul v₂ pada suatu graf dikatakan terhubung jika terdapat lintasan dari v₁ ke v₂. Jika setiap pasang simpul v_i dan v_j dalam himpunan V pada suatu graf G terdapat lintasan dari v_i ke v_j maka graf tersebut dinamakan graf terhubung (connected graph). Jika tidak, maka G dinamakan graf tak-terhubung (disconnected graph).

Contoh 1 :

Graf roda merupakan salah satu contoh graf terhubung :

Contoh 2 :

Perhatikan graf lingkaran berikut ini :

Jelas bahwa (i) C₃ dan (ii) C₄ merupakan graf terhubung. Sementara itu, graf (iii) merupakan graf tak-terhubung, karena tak ada lintasan yang menghubungkan simpul salah satu simpul pada {p, q, r} dengan salah satu simpul pada {a, b, c, d}.

Selanjutnya, kita akan meninjau tentang keterhubungan pada suatu graf berarah. Suatu graf berarah G dikatakan terhubung jika kita menghilangkan arah pada graf tersebut (graf tak berarah) maka graf tersebut merupakan graf terhubung. Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut Terhubung Kuat (Strongly Connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u. Jika u dan v tidak terhubung kuat, dengan kata lain graf tersebut hanya terhubung pada graf tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan Terhubung Lemah (Weakly Conected). Jika setiap pasangan simpul pada suatu graf berarah graf berarah G terhubung kuat maka graf G tersebut dinamakan Graf Terhubung Kuat (Strongly Connected). Jika tidak, graf tersebut dinamakan Graf Terhubung Lemah (Weakly Conected).

Misalkan G = (V, E) merupakan suatu graf, maka G₁ = (V₁, E₁) dinamakan sub graf (subgraph) dari G jika V₁ ⊆ V dan E₁ ⊆ E. Komplemen dari sub graf G₁ terhadap graf G adalah graf G₂ = (V₂, E₂) sedemikian sehingga E₂ = E – E₁ dan V₂ adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E₂ bersisian dengannya.

Contoh :

Sebuah subgraf dari suatu graf dan komplemennya (Munir, 2003)

Misalkan, G₁= (V₁, E₁) merupakan sub graf dari graf G = (V, E). Jika V₁=V (yaitu G₁ memuat semua simpul dari G) maka G₁ dinamakan Spanning Subgraph (subraf merentang).

Contoh :

Sketsa (b) merupakan Spanning Subgraph dari G, sedangkan (c) bukan Spanning Subgraph dari G (hanya komplemen dari subgraf (b)) (Munir, 2003)

E. Matriks Ketetanggaan (Adjacency Matrix) dan Matriks Bersisian (Incidency Matrix) dari Suatu Graf

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah memperkenalkan bahwa dua buah simpul dikatakan bertetangga jika kedua simpul tersebut terhubung langsung oleh suatu sisi. Matriks ketetanggaan untuk graf sederhana merupakan matriks bukur sangkar yang unsurunsurnya hanya terdiri dari dua bilangan yaitu 0 (nol) dan 1 (satu). Baris dan kolom pada matriks ini, masing-masing merupakan representasi dari setiap simpul pada graf tersebut. Misalkan a_ij merupakan unsur pada matriks tersebut, maka :

Jika a_ij = 1 maka hal ini berarti simpul i dan simpul j bertetangga.
Jika a_ij = 0 maka hal ini berarti simpul i dan simpul j tidak bertetangga.

Contoh :

Perhatikan graf sederhana berikut ini :

Matriks ketetanggaan dari graf tersebut adalah sebagai berikut :

Terlihat bahwa matriks tersebut simetris dan setiap unsur diagonalnya adalah nol (0).

Matriks ketetanggaan untuk graf tak sederhana merupakan matriks bukur sangkar yang unsur-unsurnya hanya terdiri dari bilangan 0 (nol), 1 (satu) dan 2 (dua). Baris dan kolom pada matriks ini, masing-masing merupakan representasi dari setiap simpul pada graf tersebut. Misalkan a_ij merupakan unsur pada matriks tersebut, maka :

Jika a_ij = n maka hal ini berarti simpul i dan simpul j bertetangga oleh n buah sisi.
Jika a_ij = 0 maka hal ini berarti simpul i dan simpul j tidak bertetangga.

Contoh :

Perhatikan graf dari masalah Jembatan Königsberg :

Matriks ketetanggaan dari graf tersebut adalah sebagai berikut :

Sementara itu, suatu sisi e dikatakan bersisian dengan simpul v₁ dan simpul v₂ jika e menghubungkan kedua simpul tersebut, dengan kata lain e = (v₁, v₂). Seperti halnya matriks ketetanggaan, unsur-unsur matriks bersisian pun hanya terdiri dari dua bilangan yaitu 0 (nol) dan 1 (satu), tapi tidak harus bujur sangkar. Hal ini disebabkan, baris dan kolom pada matriks bersisian, masing-masing merepresentasikan simpul dan sisi pada graf yang dimaksud. Misalkan a_ij merupakan unsur pada matriks tersebut, maka :

Jika a_ij = 1 maka hal ini berarti simpul ke-i dan sisi ke-j adalah bersisian.
Jika a_ij = 0 maka hal ini berarti simpul ke-i dan sisi ke-j tidak bersisian.

Contoh :

Perhatikan graf berikut ini :

Bentuk matriks bersisian dari graf tersebut adalah :

F. Lintasan dan Sirkuit Euler

Lintasan Euler dalam suatu graf merupakan lintasan yang melalui masing-masing sisi didalam graf tersebut tepat satu kali. Jika lintasan tersebut kembali ke simpul awal, sehingga membentuk lintasan tertutup (sirkuit) maka lintasan ini dinamakan sirkuit Euler. Dengan demikian, sirkuit Euler merupakan sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali. Graf yang memuat sirkuit Euler dinamakan graf Euler (Eulerian graph), sedangkan graf yang memuat lintasan Euler dinamakan graf Semi-Euler (Semi-Eulerian graph).

Contoh :

Perhatikan graf berikut ini :

Graf G1 merupakan graf Euler. karena memiliki lintasan yang membentuk lintasan tertutup (sirkuit), yaitu : pr – rt – ts – sq – qt – tp

Sementara itu, Terlihat bahwa graf G2 merupakan graf semi Euler karena graf tersebut memiliki lintasan yang melalui masing-masing sisi didalam graf tersebut tepat satu kali.

Lintasan tersebut adalah : pq – qs – st – tp – pr – rt – tq.

Beberapa sifat tentang lintasan dan Sirkuit Euler :

Suatu graf G merupakan graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul pada graf tersebut berderajat genap.
Graf terhubung G merupakan graf semi Euler (memiliki lintasan Euler) jika dan hanya jika di dalam graf tersebut terdapat dua simpul berderajat ganjil.
Suatu graf terhubung berarah G merupakan graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul pada graf tersebut memiliki derajat masuk dan derajat keluar yang sama.
Suatu graf terhubung berarah G merupakan graf semi Euler (memiliki lintasan Euler) jika dan hanya jika G terhubung setiap simpul pada graf tersebut memiliki derajat masuk dan derajat keluar yang sama, kecuali dua simpul yaitu simpul petama (simpul awal lintasan) memiliki derajat keluar satu lebih besar dari pada derajat masuk dan simpul yang kedua (simpul akhir lintasan) memiliki derajat masuk satu lebih besar dari pada derajat keluar.

G. Penerapan dari Teori Graf

Berikut inilah Penerapan dari Teori Graf yang kita temui dalam kehidupan sehari-hari.

1. Jarak dalam Peta/Map (Geografi)

2. Rangkaian Listrik (Fisika)

3. Isomer Senyawa (Kimia)

4. Rantai Makanan (Biologi)

5. Pengujian Algoritma Program

6. Pemodelan Mesin Jaja (Vending Machine Modeling)

7. Lintasan Terpendek (Shortest Path)

Misalkan G merupakan graf berbobot (weighted graph), yaitu setiap sisi dari graf G memiliki bobot tertentu, seperti pada ilustrasi dibawah ini :

Hal yang biasanya dilakukan adalah menentukan lintasan terpendekpada graf tersebut. Dengan kata lain, menentukan lintasan yang memiliki total bobot minimum.

Contohnya adalah :

Menentukan jarak terpendek/waktu tempuh tersingkat/ongkos termurah antara dua buah kota
Menentukan waktu tersingkat pengiriman pesan (message) antara dua buah terminal pada jaringan komputer.

Beberapa jenis persoalan lintasan terpendek, antara lain :

Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu.
Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.
Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain.
Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu.

8. Algoritma Lintasan Terpendek Dijkstra

Algoritma Dijkstra merupakan suatu algoritma yang digunakan untuk menentukan lintasan terpendek dari suatu simpul ke semua simpul lain. Untuk mempermudah dalam pemahaman Algoritma Dijkstra, berikut ini adalah graf dimana simpul-simpulnya merepresentasikan Kota-kota di Amerika Serikat dan sisi dari graf tersebut merepresentasikan jarak antar dua kota (dalam kilometer).

Contoh :