Materi tentang Sampel Galat dan Estimasi pada Statistika

October 21, 2022

Assalamu‘alaikum wr. wb.

Halo gais, Kembali lagi bersama Inzaghi's Blog! Dalam Statistika, kita telah mengenal yang namanya Ruang Sampel untuk pengujian agar hipotesisnya terbukti benar. Jika saat SMA kemarin sudah membahas tentang Distribusi Binomial dan Distribusi Normal. Sekarang waktunya kita membahas tentang Sampel Galat (Error) dan Estimasi pada Statistika.

SAMPEL STANDAR GALAT (STANDARD ERROR)

Sumber Materi : Wandykambuno.blogspot.com, Hatta2stat.wordpress.com, Tatangmanguny.wordpress.com, Ramzilhuda.com, dan Qualtrics.com

Penelitian (sejenis survei) bisa dibilang paling baik dilakukan dalam "studi populasi". Artinya, semua anggota populasi (semua subjek penelitian) diperiksa (data dikumpulkan dari mereka). Jadi, bagi pembaca yang sudah membaca artikel ini “secara langsung” (dan yang belum membaca artikel lainnya), perlu penjelasan terlebih dahulu sebelum istilah populasi bisa berlanjut.

A. Pengertian Galat (Error)

1. Pengertian dan Rumus umum Galat (Error)

Galat atau Error kesalahan data yang disebabkan fakta dan hasil perhitungan tidak tepat sehingga menimbulkan bias olah data. Tak perlu khawatir kita dapat minimalkan galat yang ditimbulkan berikut inilah pembahasan dan contohnya.

Rumus dasar untuk menghitung Galat/Error :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\Delta = \left(\frac{N_{A}-N_{B}}{N_{C}}\right) \times 100%$

Keterangan :

Δ = Galat/Error

N_A = Nilai Statistik

N_B = Nilai Perkiraan/Estimasi

Contoh Soal :

Hitunglah galat dari penelitian lampu pijar dari pernyataan bahwa lampu pijar merk Wagesa bertahan 8 jam? Dari 500 sampel lampu pijar ternyata 475 bertahan 8 jam dan 25 sampel bertahan 7,5 jam mati. Hitunglah besar galat/error dari sampel lampu pijar tersebut!

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\Delta = \left(\frac{500-475}{500}\right) \times 100% = 5%$

Jadi, besar Galat/Error sebanyak 5% atau 25 Lampu.

2. Pengertian dan Rumus umum Standar Galat (Standard Error)

Standar error mengukur ketepatan dari penyebaran data terhadap nilai pusat rerata. Untuk mengukur ketepatan penyebaran data digunakan varian dan standar deviasi sebagai alat yang tepat untuk penyebaran data.

Hasil dari standar error selalu lebih kecil nilainya dari standar deviasi. Terserah anda ingin menggunakan standar error atau standar deviasi untuk mengukur penyebaran data disekitar mean.

Rumus umum Standar Galat (Standard Error) :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\textup{SE} = \frac{\sqrt{V}}{\sqrt{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Keterangan :

SE = Standar Error/Galat

n = Jumlah Sampel

σ = Standar Deviasi

v = Varian

Contoh Soal :

Rata rata 64 buah panjang pensil 10 dan standar deviasi adalah 2. Hitunglah standar error?

Jawab :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\textup{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{64}} = 0.25, \; \; \; \; \textup{SE} < \sigma$

3. Margin of Error

Nilai ini mendeskripsikan penyebaran data terhadap nilai pusat sebagai berikut :

Adapun Rumus umumnya untuk Margin of Error adalah :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\textup{MoE} = Z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Z* adalah nilai Z* untuk tingkat kepercayaan yang Anda pilih, yang akan Anda cari di tabel nilai Z :

Keterangan :

p = Proporsi Sampel
n = Ukuran Sampel

Proporsi sampel adalah angka di dalam sampel yang memiliki karakteristik yang Anda minati. Ini adalah angka desimal yang mewakili persentase, jadi saat Anda melakukan perhitungan, itu dinyatakan dalam ratusan. Untuk proporsi sampel 5%, itu akan menjadi 0,05.

Tingkat kepercayaan yang paling umum digunakan adalah 95%, jadi kami akan menggunakannya sebagai contoh perhitungan. Nilai Z* untuk tingkat kepercayaan 95% adalah 1,96.

Kami akan menetapkan ukuran sampel kami pada 1000. Selanjutnya, kami akan mengikuti proses untuk menghitung margin of error.

Untuk selengkapnya mengenali Tabel Z, silakan Lihat dan Download di sini [PDF].

Memahami tingkat kepercayaan diri Anda

Tingkat kepercayaan Anda menentukan seberapa yakin Anda bahwa rata-rata sebenarnya berada dalam margin kesalahan Anda — dan bahwa jika Anda mengulangi survei beberapa kali, Anda masih akan mendapatkan hasil yang sama.

Semakin rendah ukuran sampel Anda, semakin rendah tingkat kepercayaan Anda. Semakin tinggi ukuran sampel, semakin tinggi tingkat kepercayaan Anda.

Sumber Gambar : Qualtrics.com

Apa kemungkinan standar deviasinya?

Dalam suatu populasi, standar deviasi membantu Anda memahami bagaimana respons yang diselesaikan akan berbeda satu sama lain, serta bagaimana mereka akan menyimpang dari angka rata-rata.

Standar deviasi yang rendah berarti bahwa nilai-nilai tersebut berkerumun di sekitar angka rata-rata, sedangkan standar deviasi yang tinggi berarti nilai-nilai tersebut tersebar di seluruh rentang, dengan beberapa angka kecil dan besar.

Sumber Gambar : Qualtrics.com

Berapa ukuran populasi totalnya?

Ukuran populasi adalah faktor utama dalam menentukan ukuran sampel yang Anda butuhkan untuk mendapatkan tingkat kepercayaan yang diinginkan dalam hasil Anda.

'Populasi' mewakili seluruh kelompok yang ingin Anda pahami melalui penelitian Anda, sedangkan ukuran sampel adalah jumlah orang yang perlu Anda survei untuk mendapatkan sampel yang representatif dari keseluruhan itu.

B. Analisis Galat (Error)

Sumber : Ramzilhuda.com dan Rpubs.com

Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.

Adapun kriteria yang berhubungan dengan metode numerik analisis galat adalah :

Galat berhubungan dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya
Semakin kecil galat, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan

Misalkan â adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka selisihnya disebut dengan Galat, secara matematis :

ε = a - â

Galat Mutlak → Jika tanda (positif atau negatif) tidak dipertimbangkan

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\left| \varepsilon \right| = \left| a - \hat{a} \right|$

Galat Relatif → Galat yang dinormalkan terhadap nilai sejatinya, disebut juga Galat Relatif Sejati

Secara Matematis :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\varepsilon_{R} = \frac{\varepsilon}{a}$ atau $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\varepsilon_{R} = \frac{\varepsilon}{a} \times 100%$

Contoh :

Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3,333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, galat relatif hampiran :

Penyelesaian :

Galat = 10/3 – 3,333 =10/3 – 3333/1000 = 1/3000 = 0,000333…
Galat mutlak = 0,000333…
Galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/1000 = 0,0001
Galat relatif hampiran = (1/3000)/3,333 = 1/9999

Galat Relatif Hampiran dengan menggunakan Pendekatan Lelaran/Iterasi (Iteration) :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\varepsilon_{RA} = \frac{a_{r+1}-a_{r}}{a_{r+1}}$

Dimana ar+1 = nilai hampiran sekarang dan ar = nilai hampiran iterasi sebelumnya, proses iterasi dihentikan bila :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\left| \varepsilon_{RA} \right| < \varepsilon_{s}$

Dengan ε_s adalah toleransi galat yang dispesifikasikan (semakin kecil ε_s semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses iterasinya).

C. Populasi dan Sampel Penelitian (Rumus Slovin)

Jika Anda mempelajari karyawan sebuah perusahaan dengan populasi 1.000, Anda menyebut semua 1.000 karyawan sebagai populasi penelitian. Satu dari seribu karyawan disebut subjek penelitian, dan kita disebut anggota populasi penelitian. Oleh karena itu, dapat juga disimpulkan bahwa populasi penelitian adalah seluruh subjek penelitian. Berbagai keterbatasan dapat menghalangi semua anggota populasi untuk disurvei ("diwawancarai" atau data dikumpulkan dengan Wawancara, Observasi, Kuesioner, tes, dll.). Oleh karena itu, sensus tidak mungkin dilakukan. Kita tentu harus bergabung dengan seluruh populasi. Bagian dari topik penelitian yang kita selidiki secara langsung (“bertanya”) disebut sampel. Cara pengambilan sampel dari suatu populasi penelitian dikenal dengan istilah sampling.

Pertanyaan yang sering muncul berkaitan dengan pengambilan sampel (sampling) itu adalah mengenai seberapa besar (banyak) jumlah sampel (“sample size”) yang patut diambil agar hasil penelitian yang dilakukan bisa diyakini benar. Apa makna bisa diyakini benar itu?

Pertama, karena tidak semua anggota populasi telah dipelajari, hal ini dianggap benar, artinya terlepas dari sejauh mana sampel dipelajari, tingkat "kepercayaan" akan mencerminkan semua anggota populasi. Artinya, data yang dihasilkan dari sampel nyata akan relatif sama dengan data yang diperoleh jika penelitian dilakukan pada semua anggota populasi. Mencicipi rasa setengah sendok sayur dari dalam panci, yakin rasanya akan sama persis seperti saat kamu makan semua sayuran? Tentu saja tidak. Karena terkadang tidak "galoh" (rasanya merata di seluruh porsi).

Terjadinya hasil penelitian yang luar biasa akan diperkuat ketika sampel yang diambil "terlalu kecil" relatif terhadap jumlah total anggota populasi.

Kedua, bagaimanapun, seseorang tidak selalu mengharapkan hasil pencarian benar-benar akurat (100% benar). Karena berbagai faktor, hasil pencarian mungkin mengandung kesalahan (error, galat). Salah satu kesalahan ini terjadi karena ada sesuatu yang "hanya acak". Siswa yang "tidak tahu" mampu menjawab pertanyaan "Checkpoint" dengan benar, karena mereka memilih opsi jawaban sebagai jawaban yang benar.

Kesalahan (error/galat) yang terjadi karena kebetulan itu lazim dilambangkan (direpresentasikan) dengan “taraf signifikansi.” Jelasnya, taraf seberapa besar kemungkinan terjadinya kebenaran karena kebetulan saja benar. Dalam bahasa lain seberapa besar taraf “toleransi” akan terjadinya kesalahan karena faktor kebetulan benar.

Untuk ilmu kealaman taraf signifikansi itu disepakati para ahli (dalam berbagai literatur umumnya menyatakan sama) yang “terbaik” sebesar 0,01. Maksudnya hanya ada 0,01 atau 1% saja kesalahan karena kebetulan itu terjadi. Jadi, dengan kata lain, yakin sebesar 99% bahwa hasil penelitian itu benar. Itu artinya, karena tetap berhati-hati, tidak ada yang “patut” diyakini 100% benar.

Untuk ilmu-ilmu sosial, umumnya disepakati bahwa "terbaik" adalah 0,05. Ini berarti hanya ada 0,05 atau 5% kesalahan karena terjadi secara kebetulan. Jadi 95% yakin hasil pencariannya benar. Hal ini karena tingkat kepastian (koherensi) "orang-orang" (sosial) relatif tidak stabil seperti fenomena alam.

Dalam pengambilan sampel, kedua aspek tersebut di atas menjadi salah satu perhatian utama. Jika hasil studi diharapkan menjadi sangat signifikan (tingkat kesalahan yang rendah secara kebetulan), ukuran sampel harus lebih besar dari tingkat signifikansi yang lebih rendah yang diharapkan (jumlah kesalahan karena suatu angka adalah "kebetulan"). lebih besar).

Salah satu cara menentukan besaran sampel yang memenuhi hitungan itu adalah yang dirumuskan oleh Slovin (Steph Ellen, eHow Blog, 2010; dengan rujukan Principles and Methods of Research; Ariola et al. (eds.); 2006) sebagai berikut.

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}n = \frac{N}{1+Ne^{2}}$

Keterangan :

n = Number of samples (Jumlah sampel)

N = Total population (Jumlah seluruh anggota populasi)

e = Error tolerance (Toleransi terjadinya galat; taraf signifikansi; untuk sosial dan pendidikan lazimnya 0,05)

Untuk menggunakan rumus tersebut, pertama-tama tetapkan terlebih dahulu taraf keyakinan atau confidence level (…%) akan kebenaran hasil penelitian (yakin berapa persen?), atau taraf signifikansi toleransi kesalahan (0,..) terjadi.

Misalnya kita ambil taraf keyakinan 95%, yaitu yakin bahwa 95% hasil penelitian benar, atau taraf signifikansi 0,05 (hanya akan ada 5% saja kesalahan karena “kebetulan benar” terjadi).

Nah, jika yang akan kita teliti itu sebanyak 1.000 orang karyawan, seperti dicontohkan di muka, dan taraf signifikansinya 0,05, maka besarnya sampel menurut Rumus Slovin ini akan menjadi :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}n = \frac{N}{1+Ne^{2}} = \frac{1000}{1 + 1000 \cdot 0.05^{2}} = 286 \; \textup{Orang}$

ESTIMASI

Sumber Materi : Detik.com, Pakdosen.co.id, dan Rumusstatistik.com (Estimasi Selang)

Pernahkah Anda mendengar kata Estimasi? Di sini saya membahas secara detail pengertian, jenis, fitur, metode dan contohnya. Silakan baca penjelasan berikut ini dengan saksama.

A. Pengertian dan Ciri-ciri Estimasi

Estimasi metode dimana kita dapat memperkirakan nilai populasi menggunakan nilai sampel. Misalnya rata-rata sampel digunakan untuk menaksir rata-rata Populasi Proporsi sampel untuk menaksir proporsi populasi (p), dan jumlah beberapa karakteristik sampel digunakan untuk memperkirakan jumlah sampel, karakteristik tertentu dari populasi. Nilai estimasi disebut estimasi sedangkan hasil estimasi disebut estimasi statistik.

Dan inilah beberapa Ciri-ciri Estimasi yaitu :

1. Tidak Bias

Jika Mean (Rata-rata) distribusi sampling suatu statistik sama dengan parameter populasi yang sesuai, maka statistik ini disebut sebagai estimator tak bias dari parameter tersebut. Di sisi lain, jika Rata-rata (Mean) distribusi sampling suatu statistik tidak sama dengan parameter populasi yang sesuai, statistik tersebut dikatakan sebagai penduga yang bias dari parameter tersebut. Nilai yang sesuai dari statistik ini masing-masing disebut perkiraan tidak bias dan tidak bias.

2. Efisien

Jika distribusi sampel dari dua statistik memiliki mean atau ekspektasi yang sama, maka statistik dengan varians yang lebih kecil disebut penduga mean yang efisien, sedangkan statistik yang lain disebut penduga yang kurang efisien. Nilai yang sesuai dengan statistik ini masing-masing disebut perkiraan efisien dan perkiraan tidak efektif. Jika semua statistik yang dapat memiliki distribusi sampling memiliki mean yang sama, statistik dengan varians terkecil kadang-kadang disebut estimator paling efisien atau estimator terbaik dari nilai rata-rata itu.

3. Konsisten

Bila besarnya sampel bertambah maka hampir dapat dipastikan bahwa nilai statistik sampel akan lebih mendekati nilai parameter populasi, estimator demikian disebut konsisten. Estimator konsisten adalah estimator yang cenderung sama dengan nilai sebenarnya meskipun ukuran sampel semakin lama semakin besar. Dalam Kasus ini, apakah kita tahu bahwa nilai barn dari x akan lebih mendekati mean (rata-rata) Dari J. l Atau ada kemungkinan lebih jauh? Estimator yang konsisten adalah penaksir yang mendekati nilai sebenarnya dengan bertambahnya jumlah elemen sampel.

B. Jenis-jenis Estimasi

Berikut ini adalah beberapa Jenis-jenis Estimasi yaitu :

1. Estimasi Titik

Titik Estimasi merupakan salah satu cara untuk mengadakan estimasi terhadap parameter populasi yang tidak diketahui. Titik estimasi ialah nilai tunggal yang digunakan untuk mengadakan estimasi terhadap parameter populasi. Titik estimasi yang dapat digunakan untuk mengadakan estimasi parameter populasi ialah rata-rata sampel terhadap rata-rata populasi, proporsi sampel terhadap proporsi populasi, jumlah variabel tertentu yang terdapat dalam sampel untuk menaksir jumlah variabel tersebut dalam populasi, dan varians atau simpangan baku sampel untuk menaksir simpangan baku populasi.

Estimasi Titik terbagi menjadi 3 kriteria yaitu :

Tidak bias (unbiasedness), apabila nilai statistik (estimator/penduga) sama dengan atau sangat mendekati nilai parameter
Efisiensi, apabila penduga memiliki varians yang kecil
Konsistensi.

E (µ) = ; E (σ2) = S2 ; E (p) =

2. Estimasi Interval

Dari penelitian dan perhitungan-perhitungan harga statistik suatu sampel, bisa dihitung suatu interval dimana dengan peluang tertentu harga parameter yang hendak ditaksir terletak dalam interval tersebut. Estimasi interval merupakan sekumpulan nilai statistik sampel dam interval tertentu yang digunakan untuk mengadakan estimasi terhadap parameter populasi dengan harapan bahwa nilai parameter populasi terletak dalam interval tersebut. Estimasi Rata – rata dalam statistik di asumsikan suatu ukuran sampel dikatakan besar apabila n ≥ 30, sampel dikatakan kecil apabila n ≤ 30.

Selain itu, Estimasi interval juga dipengaruhi oleh 3 faktor yaitu :

Besarnya sampel
Tingkat keyakinan atau keyakinan yang dipilih (level confidence)
Variabilitas populasi yang diukur dengan standar deviasi.

3. Estimasi Rata-rata

Menurut Mochamad (2012), Estimasi Rata-rata merupakan pendugaan mengenai data parameter (μ) yang sebenarnya berdasarkan informasi rata-rata sampel.

Sementara menurut Rachmat (2012), pendugaan rata-rata (μ) adalah pendugaan terhadap parameter (μ) yang berdasarkan informasi tentang rata-rata sampel.

4. Estimasi Proporsi

Pada jenis estimasi proporsional ini sering digunakan ketika sample rate untuk memperkirakan proporsi populasi. Estimasi dalam percobaan binomial diberikan oleh beberapa notasi, yaitu:

p : Proporsi populasi
X : jumlah variabel yang ditanyakan
n : jumlah anggota populasi (sampel)

5. Estimasi Selang

Sumber : Rumusstatistik.com

Ada dua bentuk estimasi parameter populasi (\theta)(θ) dalam statistika, yaitu estimasi titik dan estimasi selang. Peluang menghasilkan nilai parameter dengan menggunakan estimasi titik biasanya sangat kecil. Oleh karena itu, dirancanglah suatu bentuk estimasi parameter populasi yaitu dengan menggunakan selang (interval) kepercayaan. Dengan estimasi selang kepercayaan, peluang mendapatkan nilai parameter akan menjadi lebih besar.

C. Metode Klasifikasi Estimasi

Pada umumnya, klasifikasi dan estimasi biaya yang lebih dapat diandalkan diperoleh dengan menggunakan pendekatan analisis biaya masa lalu, dengan beberapa metode yaitu :

1. Metode Titik Tertinggi dan Titik Terendah (High and Low Point Method)

Metode titik tinggi dan rendah adalah metode pemisahan biaya campuran menjadi elemen biaya tetap dan variabel dengan menganalisis perbedaan biaya antara tingkat aktivitas tertinggi dan terendah. Yang dimaksud titik tertinggi dan titik terendah di sini adalah titik tertinggi adalah titik dengan tingkat produksi dan aktivitas tertinggi dan titik terendah adalah titik dengan tingkat produksi dan aktivitas terendah.

Secara umum perhitungan metode titik tertinggi dan terendah dapat dilakukan dengan cara :

Memilih jumlah biaya paling tinggi dari data yang tersedia.
Memilih jumlah biaya paling rendah dari data yang tersedia.
Menghitung selisih jumlah aktivitas dan selisih biaya dari dua titik tertinggi dan terendah.
Memasukan selisih kedalam formula untuk menghitung komponen biaya tetap dan biaya variabel.

2. Metode Biaya Berjaga (Stand By Cost Method)

Metode biaya berjaga digunakan untuk menaksir biaya tetap dan biaya variabel bila sebuah perusahaan menutup kegiatan usahanya untuk sementara. Metode ini disebut biaya berjaga karena untuk menghitung cadangan dana yang harus disiapkan untuk berjaga-jaga selama tenggang waktu tanpa kegiatan normal. Metode ini mencoba menghitung beberapa biaya yang masih harus dikeluarkan andai kata perusahaan ditutup untuk sementara, jadi produknya sama dengan nol. Biaya ini disebut biaya pemeliharaan, dan biaya pemeliharaan ini merupakan bagian yang tetap.

3. Metode Kuadrat Terkecil (Least-Square Method)

Secara umum, metode kuadrat terkecil mengasumsikan bahwa ada hubungan linier antara variabel dependen dan variabel independen. Asumsi ini juga dapat diterapkan dalam menganalisis hubungan antara perilaku biaya dan pemicu biaya terkait. Metode kuadrat terkecil juga membuat asumsi tentang sifat dan distribusi “eror term” dalam memperkirakan hubungan antara biaya tinggi dan jam mesin. Atas dasar asumsi tersebut maka dianggap bahwa fluktuasi biaya sebagai variabel terikat (y) akan ditentukan secara linier oleh perubahan volume aktivitas (x) sebagai variabel bebasnya. Metode ini merupakan ukuran jumlah biaya yang tersedia untuk menentukan biaya tetap rata-rata dan biaya variabel rata-rata. Metode kuadrat terkecil untuk memperkirakan hubungan linier didasarkan pada persamaan garis y = a + bx.

D. Contoh Kasus Estimasi

Untuk melihat Contoh Soal Estimasi, silakan lihat di sini (Pakdosen.co.id).

VIDEO MATERI

Untuk memahami lebih lanjut terkait dengan Sampel Galat dan Estimasi pada Statistika, lihatlah Video-video YouTube di bawah ini.