[#2] Materi Matematika Peminatan (Kelas 12) : Materi Distribusi Binomial dan Distribusi Normal (+ Video Pembelajaran) [#BelajarDiRumah]

March 04, 2021

Assalammu‘alaikum wr. wb.

Hello guys! Apakah kalian juga termasuk Phobia Matematika? Kali ini jangan takut untuk berhitung. Sekarang di Kelas 12 ini saya akan menjelaskan tentang Distribusi Binomial dan Distribusi Normal untuk Pelajaran Matematika Peminatan.

DISTRIBUSI BINOMIAL

Sumber Materi : M4th-lab.net, Yos3prens.wordpress.com

Dalam kehidupan sehari-hari kita seringkali berhadapan dengan kondisi yang memiliki dua

kemungkinan, misalnya seorang ibu melahirkan bayi yang terlahir bisa Laki-laki atau

Perempuan, saat kita melempar sebuah dadu bilangan yang muncul bisa Ganjil atau Genap, saat kita melempar sebuah Koin, yang muncul bisa Gambar atau Angka, ketika siswa Ujian hasilnya bisa Lulus atau Tidak Lulus. Dalam studi peluang, berbagai kondisi yang memiliki dua kemungkinan disebut sebagai Percobaan Binomial atau Eksperimen Binomial.

Binomial terdiri dari dua suku kata yaitu bi yang artinya dua dan nomial yang dapat diartikan

sebagai kondisi. Dengan demikian, binomial merupakan kondisi yang memiliki dua

kemungkinan, yaitu "Berhasil" atau "Gagal".

Misalnya, ketika kita melempar sebuah koin sebanyak 10 Kali dan kita ingin menghitung peluang dari 10 kali pelemparan tersebut sebanyak 5 Kali pelemparan kita memperoleh gambar. Kejadian tersebut merupakan salah satu contoh kejadian yang memerlukan formula peluang binomial yang akan kita pelajari pada tulisan ini. Pada kondisi tersebut, kondisi dimana koin menunjukan gambar bisa kita anggal sebagai konisi "Berhasil" maka saat koin menunjukan angka bisa kita anggal sebagai kondisi "Gagal".

Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku untuk Distribusi Binomial

Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku Variabel yang memiliki distribusi binomial secara berturut-turut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut.

$\large \mu = n \cdot p$

$\large \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$

Rumus-rumus tersebut secara aljabar ekuivalen dengan rumus-rumus untuk rata-rata, varians, dan simpangan baku variabel distribusi peluang, tetapi karena variabel-variabel tersebut memiliki distribusi binomial, maka variabel-variabel tersebut dapat disederhanakan dengan menggunakan Aljabar.

CONTOH SOAL

Suatu koin dilemparkan sebanyak 4 kali. Tentukan rata-rata, varians, dan simpangan baku dari banyaknya angka yang muncul.

Pembahasan Dengan menggunakan rumus distibusi binomial dan n = 4, p = ½, serta q = 1/2 hasilnya adalah

Dari Contoh diatas, ketika empat koin dilemparkan beberapa kali, rata-rata banyaknya angka yang muncul adalah 2, dan simpangan bakunya adalah 1. Nilai-nilai tersebut merupakan nilai teoritis.

Rumus Peluang (Distribusi) Binomial

Untuk percobaan binomial, dimana peluang sukses adalah dan peluang gagal adalah q

untuk setiap percobaan dimana q = 1 - p , maka probabilitas sukses sebanyak x dari n percobaan adalah :

$\large P(x,n) = C_{n}^{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x}$

Keterangan :

$C_{n}^{x} = \frac{n!}{x! \cdot (n-x)!}$

Dan inilah Langkah-langkah untuk Pengujian Hipotesis Binomial :

Dan inilah Langkah-langkah untuk melakukan Prosedur Binomial :

CONTOH SOAL

Untuk lebih jelasnya, silahkan lihat dan tontonlah Video YouTube di bawah ini :

DISTRIBUSI NORMAL

Sumber Materi : Rumuspintar.com, Analisis-statistika.blogspot.com dan Quipper.co.id

A. Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi dari suatu variabel acak yang berkelanjutan. Biasanya juga distribusi normal sering dinamakan sebagai pengertian distribusi Gauss.

Distribusi ini merupakan distribussi yang paling penting dan paling banyak digunakan di bidang statistika.

Abraham de Moivre lah yang memperkenalkan tentang Distribusi normal untuk pertama kali di dunia di dalam suatu artikel miliknya pada Tahun 1733 sebagai pendekatan Distribussi Binomial untuk (n) besar.

Kemudian karya itu dimajukan menjadi lebih baik lagi oleh Pierre Simon de Laplace Dan dikenal sebagai teorema Moivre-Laplace.

Laplace memanfaatkan distriibusi normal untuk membantu menganalisis Galat suatu Eksperimen.

$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} (\frac{x - \mu}{\sigma})^{2}}$

Keterangan :

π : Konstanta dengan nilai 3,14159. . . .

e : Bilangan eksponensial dengan nilai 2,7183 . . . .

µ : Rata-rata (mean) dari data

σ : Simpangan Baku data berdistribusi normal

B. Rumus Distribusi Normal

Distribusi ini memiliki parameter berupa mean dan simpangan baku. Distribusi normal dengan mean = 0 dan simpangan baku = 1 disebut dengan distribusi normal standar. Apabila digambarkan dalam grafik, kurva distribusi normal berbentuk seperti genta (bell-shaped) yang simetris. Perhatikan kurva distribusi normal normal standar berikut :

Sumbu X (horizontal) memiliki range (rentang) dari minus takhingga (‒∞) hingga positif takhingga (+∞). Kurva normal memiliki puncak pada X = 0. Perlu diketahui bahwa luas kurva normal adalah satu (sebagaimana konsep probabilitas). Dengan demikian, luas kurva normal pada Sisi Kiri = 0,5; demikian pula luas kurva normal pada Sisi Kanan = 0,5.

Dalam Analisis Statistika, seringkali kita menentukan probabilitas kumulatif yang dilambangkan dengan notasi P (X<x). Sebagai contoh, P (X<1), apabila diilustrasikan dengan grafik adalah luas kurva normal dari minus takhingga hingga X = 1.

Secara matematis, Probabilitas distribusi normal standar kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan Rumus :

$P(X < x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} (\frac{x - \mu}{\sigma})^{2}} dx$

Akan tetapi, kita lebih mudah dengan bantuan Tabel Distribusi Normal. Berikut adalah tabel distribusi normal standar, untuk P (X < x), atau dapat diilustrasikan dengan luas kurva normal standar dari X = -∞ sampai dengan X = x. Di bawah ini merupakan Tabel Distribusi Normal (Tabel nilai z) :

Dan inilah Langkah-langkah untuk Pengujian Hipotesis Binomial beserta dengan Prosedurnya :

Misalkan :

CONTOH SOAL

Hitunglah P(X<1,25).

Penyelesaian : Pada tabel, carilah angka 1,2 pada kolom paling kiri. Selanjutnya, carilah angka 0,05 pada baris paling atas. Sel para pertemuan kolom dan baris tersebut adalah 0,8944.
Dengan demikian, P (X<1,25) adalah 0,8944.