[#2] Materi Matematika Wajib (Kelas 12) : Aturan Pencacahan (Perkalian), Permutasi & Kombinasi, dan Peluang (Peluang, dan Kejadian Majemuk) (+ Video Pembelajaran) [#BelajarDiRumah]

March 01, 2021

Assalammu‘alaikum wr. wb.

Hello gaes! Apakah kalian juga termasuk Phobia Matematika? Kali ini jangan takut untuk berhitung. Sekarang di Kelas 12 ini saya akan menjelaskan tentang Permutasi & Kombinasi, dan Peluang (Peluang, Aturan Perkalian, dan Kejadian Majemuk) untuk Pelajaran Matematika Wajib.

PERMUTASI DAN KOMBINASI (ATURAN PENCACAHAN)

Sumber Materi : Yuksinau.id, Dosenpendidikan.co.id, Edura.id dan Rumusstatistik.com

A. Aturan Perkalian

Aturan Perkalian adalah banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk menentukan pilihan dari suatu permasalahan. Cara penyelesaian aturan pencacahan dapat diselesaikan dengan kotak, diagram, dan lain-lain. Rumus umum dari suatu aturan perkalian adalah sebagai berikut jika terdapat k unsur yang tersedia dengan :

n₁ = banyak cara untuk menyusun unsur pertama

n₂ = banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun

n₃ = banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun

nk = banyak cara untuk menyusun unsur ke-k setelah objek unsur sebelumnya tersusun.

Maka banyak cara untuk menyusun k unsur yang tersedia adalah:

n₁ x n₂ x n₃ x ………x n_k

Contoh soal : Seorang manajer supermarket ingin menyusun barang berdasarkan nomor seri barang. Dia ingin menyusun nomor seri yang dimulai dari nomor 3000 sampai dengan 8000 dan tidak memuat angka yang sama. Tentukan banyak nomor seri yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Jawab : Soal ini dapat dijawab menggunakan menggunakan konsep aturan perkalian dengan penjelasan kotak. Ada 4 kotak yang tersedia yaitu Ribuan, Ratusan, Puluhan, dan Satuan.

B. Permutasi

Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutannya.

Poin penting yang menjadi perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi adalah perhatian pada pengurutannya ini, dimana pada permutasi memperhatikan urutan, sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan. Susunan XY dan YX pada permutasi dihitung 2 (Dua), sedangkan pada kombinasi hanya dihitung 1 (Satu).

Notasi dari permutasi adalah P. Jika k objek diambil dari n objek maka banyaknya susunan yang dapat dibentuk disebut dengan n permutasi k, yang dinotasinya dengan $P_{n}^{k}$ , dimana :

$P_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!}$

Notasi ! adalah Faktorial. Faktorial merupakan perkalian semua bilangan asli yang kurang atau sama dengan n. Faktorial dilambangkan dengan tanda !. Jadi jika n!, maka dibaca "n Faktorial". Secara umum, Faktorial dirumuskan sebagai :

$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdots \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Anda juga bisa mencari nilai Faktorial dengan menggunakan Situs Wolfram|Alpha.

1. Permutasi Sikilik/Sikilis [Sumber : Pendidikan Matematika (Yos3prens.wordpress.com)]

Permutasi Sikilik/Siklis adalah Permutasi yang disusun melingkar. Misalnya A, B, dan C disusun melingkar.

Jika kita pandang urutan itu searah jarum jam maka susunan ABC, CAB, dan BCA adalah sama. Sehingga banyaknya Permutasi Siklis dari 3 Objek adalah $\frac{3!}{3} = \frac{3 \cdot 2!}{3} = 2! = 2$ . Jadi, akan dihasilkan 2 susunan yang berbeda secara Siklis dari huruf-huruf A, B, dan C, yaitu ABC dan ACB.

Andaikan sekarang kita mempunyai 4 Objek yang akan disusun secara Siklis.

Keempat gambar di atas menunjukkan permutasi yang sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 4 objek adalah $\frac{4!}{4} = \frac{4 \cdot 3!}{4} = 3! = 6$ . Jadi, akan dihasilkan 6 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, C, dan D. Apa yang dapat disimpulkan dari kedua contoh di atas?

Banyaknya Permutasi Siklis dari n objek dapat dinyatakan dengan $(n-1)!$ .

CONTOH SOAL

Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang Ayah, seorang Ibu, dan 3 Orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika :

1. Mereka berpindah-pindah tempat;

2. Ayah dan Ibu selalu berdekatan?

Pembahasan

Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang (seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anak). Sehingga, banyaknya cara yang berlainan saat mereka duduk berpindah-pindah tempat adalah $(5-1)! = 4! = 24$ Cara.

Perhatikan gambar berikut.

Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu. Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun secara Siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan ibu dapat disusun kembali menjadi $P_{2}^{2}$ cara. Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan ibu selalu berdekatan adalah $(4-1)! \cdot P_{2}^{2} = 3! \cdot 2! = 12$ Cara.

2. Permutasi Pengulangan

Permutasi dengan Pengulangan artinya permutasi yang membolehkan objek yang sama untuk muncul lebih dari satu kali.

Jika k Objek diambil dari n Objek, dimana objek-objek tersebut boleh muncul lebih dari satu kali maka banyaknya susunan yang dapat dibentuk adalah :

$\large n^{k}$

CONTOH SOAL

Berapakah banyaknya susunan 2 Huruf yang dapat dibentuk dari huruf A, B dan C, jika huruf-huruf penyusunnya tersebut boleh diulang?

Jawab :

Dimana n = 3 dan k = 2, hanya saja pada soal ini Huruf-huruf penyusunnya boleh diulang. Banyaknya susunan yang terbentuk adalah :

\begin{aligned} n^k &= 3^2\\ &= 9 \end{aligned}

n^{k} = 3^{2} = 9

Susunan yang terbentuk tersebut adalah AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB dan CC.

3. Permutasi dari n Unsur, masing-masing Permutasi terdiri atas n Elemen

Apabila terdapat unsur yang berbeda dan diambil n unsur, maka banyaknya susunan atau permutasi yang berbeda dari n unsur tersebut merupakan P(n,n) = n! atau nPn = n!

Sebagai Contoh :

Untuk menyambut suatu pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara. Panitia kemudian akan memasang kelima bendera yang merupakan bendera dari lima negara yang hadir.

Banyak cara untuk panitia menyusun kelima bendera tersebut yaitu?

Jawab :

Dari kelima bendera yang ada, berarti kita peroleh n = 5, sehingga banyak susunan bendera yang mungkin yakni :

5! = 5.4.3.2.1 = 120 Cara

C. Kombinasi

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam Kombinasi, urutan tidak diperhatikan.

{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

Contoh : Seorang Anak hanya diperbolehkan mengambil 2 (Dua) Buah Amplop dari 3 (Tiga) Buah Amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil 2 (Dua) Buah Amplop dari 3 (Tiga) Buah Amplop yang disediakan?

Penyelesaian : Ada 3 Kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.

Sedangkan Permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam Permutasi, urutan diperhatikan.

{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Contoh : Ada sebuah kotak berisi 3 Bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 Bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?

Penyelesaian : Ada 6 Permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Rumus umum dari Kombinasi adalah :

CONTOH SOAL

Tentukan nilai dari :

CONTOH SOAL LAINNYA

Berapa banyak cara menempatkan 7 orang duduk dalam satu baris dalam urutan yang berbeda?
Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara memilih 4 orang untuk dijadikan pengurus RT?

Jawab :

Untuk contoh soal nomor 1, penyelesaian soal menggunakan permutasi. Hal ini disebabkan dalam soal terdapat kata (urutan yang berbeda). Sehingga cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

Untuk contoh soal nomor 2, penyelesaian soalnya menggunakan kombinasi. Hal ini disebabkan karena posisi duduk dalam pemilihan pengurus RT tersebut tidak diperhatikan sehingga cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

Rumus Solusi ini untuk permutasi dan kombinasinya adalah sebagai berikut :

Untuk lebih jelasnya, silahkan lihat dan tontonlah Video YouTube di bawah ini :

PELUANG (PELUANG DAN KEJADIAN MAJEMUK)

Sumber Materi : Rumushitung.com, Kompas.com, Quipper (Blog) dan Ruangguru (Blog)

Oh ya, Kalian pastinnya sudah kenal dengan Permainan Ular Tangga bukan?. Itu lho, yang mainnya pakai Dadu. Permainan ini merupakan Permainan yang hits pada zaman dahulu, yang mungkin sudah agak jarang di jumpai pada zaman sekarang.

Pada Permainan Dadu, cara bermainnya cukup mudah, yakni kita hanya tinggal melemparkan Dadu, sebagai dasar untuk menggerakkan Bidak dari satu petak ke petak lainnya. Misalnya saja, Anton ingin mencapai Kotak nomor 4, karena ada tangga naik.

Jika Anton berada di Kotak 1, berapakah peluang Anton maju ke Kotak 4?. Untuk maju ke kotak 4, maka Anton harus maju 3 Langkah, artinya dadu Anton harus menunjukkan Angka 3. Perlu diingat bahwa dadu mempunyai 6 Sisi, sehingga peluang untuk munculnya Angka 3 yaitu sebanyak 36 atau Setengah.

Tanpa disadari, ternyata pada permainan dadu menerapkan konsep matematika yang disebut dengan Peluang. Nah, Materi peluang inilah yang akan kita pelajari pada pembahasan kali ini. Untuk lebih jelasnya yuk simak..

A. Peluang

1. Pengertian Peluang

Peluang dapat diartikan sebagai besarnya kemungkinan atau probabilitas berlangsungnya suatu kejadian. Penerapan konsep Peluang tidak hanya di terapkan pada hal-hal yang simpel seperti pada Permainan Dadu saja, namun konsep peluang juga diterapkan pada hal-hal yang bersifat kompleks seperti Ramalan Cuaca, Asuransi, Investasi, dan lainnya.

2. Konsep Dasar Peluang

Konsep dasar dari Peluang dirincikan menurut besaran-besaran apa yang harus dikuasai. Konsep ini diperoleh melalui percobaan. Konsep dasar peluang meliputi ruang sampel dan titik sampel. Berikut uraiannya;

1). Ruang Sampel

Ruang sampel yaitu himpunan semua kemungkinan hasil yang diperoleh dari suatu percobaan. Ruang sampel dinyatakan dengan Huruf ”s“. Sebagai contoh ruang sampel pada dadu yaitu angka 1,2,3,4,5,6.

2). Titik Sampel

Titik sampel yaitu bagian dari Ruang Sampel. Titik sampel contohnya pada saat kita melemparkan sebuah Dadu, salah satu kemungkinan Angka yang akan keluar adalah 4.

CONTOH SOAL

Dari Satu Set Kartu Bridge, akan diambil 1 (Satu) Kartu secara Acak. Tentukanlah ruang Sampel Percobaan tersebut!.

Jawab :

Dari satu set kartu bridge terdapat 4 (Empat) Jenis kartu yaitu Sekop, Wajik, dan Keriting. Masing-masing kartu tersebut terdiri dari 13 Kartu yaitu As hingga King.

Ilustrasi Kartu Remi/Bridge

Jadi, Ruang Sampel dari Satu Set Kartu Bridge yaitu sebanyak 4 x 13 = 52 Kartu.

3. Pengertian Peluang Klasik

Peluang Klasik yaitu Peluang Awal yang dipelajari oleh matematikawan pada Abad ke 17 dan 18. Semua kejadian yang akan berlaku ditentukan melalui ruang sampel.

Peluang jenis ini, semua kejadiannya diasumsikan mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Contohnya saat kamu mengambil satu set Kartu Bridge. Maka masing-masing kartu yang akan kamu ambil mempunyai peluang yang sama yaitu 1/52.

Pada saat kamu menentukan peluang kejadian A, kamu harus membandingkan antara banyaknya kejadian A dan banyaknya keluaran pada Ruang Sampel. Secara Matematis Kejadian A dituliskan dengan;

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$

CONTOH SOAL

Pada sebuah set Kartu Bridge akan diambil kartu merah bernomor 10. Tentukanlah peluang terambilnya kartu merah bernomor 10!.

Jawab :

Satu Set Kartu Bridge isinya 52 kartu. Artinya, banyaknya ruang sampel pada percobaan tersebut n(S) = 2. Sedangkan terambilnya kartu merah yang bernomor 10 menunjukkan n(A) = 2

Sehingga menurut teori peluang klasik diperoleh;

Jadi peluang terambilnya kartu berwarna merah bernomor 10 ialah sebesar 1/6.

4. Kejadian-Kejadian Komplemen

Konsep penting lainnya yang harus kamu pelajari di materi peluang ini adalah kejadian yang saling berkomplemen. Komplemen kejadian A adalah kejadian yang terjadi di ruang sampel selain A. Kejadian komplemen ini biasa dinyatakan dengan A^c. Secara Matematis, dirumuskan sebagai berikut.

$n(A^{C}) = n(S) - n(A)$

Mengingat semua jumlah kejadian = 1, maka persamaan di atas menjadi seperti berikut.

$P(A) + P(A^{C}) = 1$ atau $P(A^{C}) = 1-P(A)$

Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal berikut.

CONTOH SOAL

Jika peluang siswa SMA Taruna Gagal dalam Ujian adalah 0,0001, tentukan Peluang Siswa SMA Taruna berhasil dalam Ujian!

Pembahasan :

Misalkan A adalah kejadian siswa SMA Taruna gagal dalam ujian. Dengan demikian, Ac adalah kejadian SMA Taruna berhasil dalam ujian. Berdasarkan persamaan komplemen kejadian, diperoleh :

P(A^c) = 1 – P(A)

= 1 – 0,0001

= 0,9999

Jadi, peluang siswa SMA Taruna berhasil dalam Ujian adalah 0,9999.

5. Aturan Penjumlahan Peluang

a. Kejadian Tidak Saling Lepas

Contohnya saat pemilihan ketua OSIS. Saat memilih ketua OSIS, kamu ingin tahu apakah calon ketua OSIS-mu ganteng dan pintar, atau pintar saja tetapi tidak ganteng, atau ganteng saja tetapi tidak pintar?

Kejadian ini disebut kejadian tidak saling lepas. Aturan penulisan kejadian tidak saling lepas adalah sebagai berikut.

Rumus untuk kejadian A dan B tidak saling lepas.

b. Kejadian Saling Lepas

Contohnya adalah kamu ingin tahu apakah calon ketua OSIS-nya laki-laki atau perempuan. Artinya, tidak mungkin seseorang bersamaan antara laki-laki atau perempuan.

Dengan demikian, kejadian tersebut dinamakan kejadian saling lepas. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.

Rumus untuk kejadian A dan B saling lepas.

6. Aturan Perkalian Peluang

Pada Prinsipnya, aturan perkalian hampir sama dengan penjumlahan. Hal yang membedakan adalah contoh kasusnya.

a. Kejadian Tidak Saling Bebas

Misalnya kamu memiliki 3 Lusin Buku dengan Rincian 1 Lusin Buku Sains, 1 Lusin Buku Fiksi, dan 1 Lusin Buku Novel. Saat kamu mengambil sebuah buku tanpa pengembalian, tentunya akan akan berpengaruh pada jumlah keseluruhan buku, kan?

Artinya, peluang pada pengambilan kedua berbeda dengan pengambilan pertama karena buku tidak dikembalikan kembali.

Secara Matematis, kejadian tidak saling bebas kejadian A dan B dirumuskan sebagai berikut.

b. Kejadian Saling Bebas

Contohnya kamu melemparkan koin dan dadu secara bersamaan. Kamu ingin tahu peluang munculnya koin bergambar angklung dan dadu bernomor 5.

Jelas bahwa Koin dan dadu tidak saling berpengaruh satu sama lain. Kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Secara matematis, kejadian A dan B saling bebas dirumuskan sebagai berikut.

7. Peluang Kejadian Bersyarat

Pada keadaan tidak saling bebas, kamu mengenal persamaan berikut.

P(B|A) dibaca peluang kejadian B terjadi setelah A.

B. Aturan Penjumlahan dan Perkalian pada Peluang

Sumber : Kompas.com

Pada dasarnya semakin tinggi peluang suatu peristiwa maka semakin besar kemungkinan peristiwa tersebut akan terjadi. Apakah yang dimaksud dengan peluang?

Dilansir Probability with permutations: An Introduction to Probability and Combinations (2017) oleh Steve Taylor, peluang merupakan seberapa besar kemungkinan susuatu akan terjadi, yang diukur sebagai angka antara 0 dan 1.

Di mana 0 menunjukkan ketidakmungkinan dan 1 menunjukkan kepastian sesuatu yang akan terjadi.

1. Aturan Penjumlahan

Penjumlahan Peluang terjadi pada kejadian saling lepas. Contoh kejadian pada saat kita melakukan tos dengan dua koin, dimisalkan akan muncul kejadian tepat 1 gambar (A) atau bisa juga tepat 2 gambar (B).

Jika ditulis secara matematis dapat dimisalkan A = {(G, A), (A, G)} dan B = {{G, G)}. Terlihat bahwa tidak ada satupun elemen A yang sama dengan elemen B.

Aturan penjumlahan terjadi apabila terdapat 2 kegiatan, misalkan kegiatan 1 terjadi sebanyak A cara dan kegiatan 2 terjadi sebanyak B cara. Maka dua kegiatan tersebut akan terjadi sebanyakan A+B.

Dikutip dari Combinations, Permutations, and Probabilities (1994) oleh Anthony Nicolaides, Persamaan Penjumlahan Peluang pada dua kejadian A dan B yang saling lepas adalah :

2. Aturan Perkalian

Perkalian peluang terjadi pada kejadian saling bebas (tidak saling lepas). Misalnya adalah pada saat kita melakukan tos dengan dua dadu, dimana peluang munculnya mata dadu 2 pada dadu pertama tidak memengaruhi peluang munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua.

Sehingga munculnya kejadian pertama tidak memengaruhi peluang munculnya kejadian kedua. Aturan perkalian terjadi apabila terdapat 2 kegiatan, misalkan kegiatan 1 terjadi sebanyak A cara dan kegiatan 2 terjadi sebanyak B cara.

Maka dua kegiatan tersebut akan terjadi sebanyakan AB. Persamaan perkalian peluang pada 2 (Dua) Kejadian A dan B yang saling bebas adalah :

P(A dan B)=P(A)×P(B)

P(A∩B)=P(A)×P(B)

Untuk lebih jelasnya, silahkan lihat dan tontonlah Video YouTube di bawah ini :

Demikianlah semoga membantu khususnya untuk menyelesaikan soal Ujian Akhir Tahun (PAT) Mata Pelajaran Matematika Wajib Kelas 12.

Mohon maaf apabila ada sedikit Kesalahan, baik itu Salah Kata, ataupun Salah menulis Rumus.Terima Kasih 😀👍 :)

Wassalammu‘alaikum wr. wb.

Inzaghi's Blog (Legacy)

[#2] Materi Matematika Wajib (Kelas 12) : Aturan Pencacahan (Perkalian), Permutasi & Kombinasi, dan Peluang (Peluang, dan Kejadian Majemuk) (+ Video Pembelajaran) [#BelajarDiRumah]

Ads