Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

[#BelajarDiRumah] Inilah Pengertian, Bentuk Umum, Materi, hingga Contoh Soal tentang Suku Banyak / Polinomial (+ Video Pembelajaran)

Assalammu‘alaikum wr. wb.

Hello gaes! Apakah kalian juga termasuk Phobia Matematika? Kali ini jangan takut untuk berhitung. Sekarang di pembahasan kali ini saya akan menjelaskan tentang Rumus Polinomial / Suku Banyak untuk Pelajaran Matematika Perminatan.



Sumber Materi : Studiobelajar.com dan Quipper (Blog)

PENGERTIAN

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini : 


Suku Banyak atau Polinominal merupakan Pernyataan Matematika yang melibatkan Penjumlahan, Perkalian, Pangkat dalam satu atau lebih Variabel dengan Koefisien. Bisa dibilang Polinominal merupakan bentuk Aljabar dengan Pangkat peubah Bilangan Bulat Positif. Suku Banyak dalam x berderajat n mempunyai bentuk umum : 


Dimana : 

Derajat (n) adalah Pangkat tertinggi dalam suatu suku banyak.
Variabel (x) adalah Bilangan yang dimisalkan dengan huruf misalnya x.
Koefisien (a) adalah Bilangan yang mengikuti variabel. 

Contoh Persamaan dari Sistem Polinomial adalah .

DASAR-DASAR TENTANG SUKU BANYAK (+ CONTOH SOAL)

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini : 


Operasi Hitung pada Suku Banyak

Suatu persamaan polinomial memiliki operasi dasar yang sama dengan Sistem Persamaan Kuadrat yaitu : Operasi Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian suku banyak. Teorema nya adalah sebagai berikut : jika f(x) dan g(x) berturut-turut adalah suku banyak berderajat m dan n, maka : 

adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n. 
adalah suku banyak berderajat

Contohnya adalah : 


    1. Penjumlahan

    2. Pengurangan


Menentukan Derajat Suku Banyak

Contoh Soal (Sumber : Pelajaran.co.id) : 

Diketahui suku banyak

Tentukan Derajat dari Suku Banyak p(x)

Pembahasan : 


Derajat suku banyak adalah 4
Koefisien adalah 2
Koefisien adalah 0
Koefisien adalah 1
Koefisien x adalah -4
Suku Tetap / Konstanta adalah 6

Contoh Soal Lainnya : 


Menentukan Nilai Suku Banyak

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini : 


    1. Metode Subtitusi

Misalkan nilai untuk x = -2 dengan dapat ditentukan dengan mensubstitusi menjadi : 

f(-2) = (-2)^5 - 2(-2)^4 + 3(-2)^3 + 4(-2)^2 - 10(-2)^1 + 3

f(-2) = -32 - 32 - 24 + 16 + 20 + 3

f(-2) = -49


    2. Metode Skema (Bagan)

Misalkan untuk x = 5. Yang pertama dilakukan adalah mengurutkan penulisan kiri ke kanan mulai dari pangkat tertinggi. Yang ditulis dalam bagan adalah koefisien dari masing-masing derajat suku banyak.


Contoh Soal : 


Contoh Soal Lainnya : 



PEMBAGIAN SUKU BANYAK (+ CONTOH SOAL)

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini : 


A. Pembagian Bersusun

Saksikan terlebih dahulu Video dari Youtube di bawah ini : 


Pembagian dengan cara Bersusun (Biasa) sebagai berikut : 


pembagian bersusun suku banyak


B. Pembagian Sintetik (Horner)

Saksikan terlebih dahulu Video dari Youtube di bawah ini : 



Atau bisa lihat di sini (MyRightspot.com) untuk Pembahasan tentang Pembagian Suku Banyak.

    1. Pembagian dengan 

Misalkan  dibagi dengan  memberikan hasil bagi  dan sisa pembagian S, diperoleh hubungan : 



Pembagian dengan cara ini menggunakan bagan seperti berikut : 

metode horner

Berdasarkan kedua penyelesaian tersebut, didapat Hasil Pembagian H(x) = a_2x + a_2k + a_1 dan Sisa Pembagian S = a_2k^2 + a_1k + a_0.


    2. Pembagian dengan

Misalkan k = -\frac{b}{a}, sehingga bentuk (x - k) menjadi (x + \frac{b}{a}). Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x + \frac{b}{a}) memberikan hasil H(x) dan sisa S, maka terdapat hubungan : 

Dengan demikian f(x) dibagi dengan (ax + b) memberikan hasil bagi \frac{H(x)}{a} dan sisa S. Koefisien-koefisien \frac{H(x)}{a} dan S ditentukan dengan dua jenis cara pembagian sebelumnya dengan mengganti k = -\frac{a}{b}.


    3. Pembagian dengan 

Pembagian suku banyak f(x) oleh pembagi dalam bentuk (ax^2 + bx + c) yang tidak bisa difaktorkan, dapat dilakukan dengan Metode Pembagian Bersusun. Sedangkan jika pembagi dapat difaktorkan, penyelesaian dapat dilakukan dengan Metode Horner. Bentuk umum pembagian ini : 

f(x) = (ax^2 + bx + c) \times H(x) + S

Misalkan (ax^2 + bx + c) dapat difaktorkan menjadi P_1 dan P_2 sehingga (ax^2 + bx + c) = P_1.P2, maka : 

f(x) = P_1 \times P_2 \times H(x) + S

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah : 

  • Melakukan Pembagian Suku Banyak f(x) oleh P_1 dengan hasil H_0(x) dan sisanya S_1.
  • Kemudian melakukan Pembagian H_0(x) oleh P_2 dengan hasil H(x) dan sisanya S_2.
  • Hasil Bagi f(x) oleh (P_1 \times P_2) adalah H(x) sedangkan sisanya S(x) = P_1 \times S_2 + S_1. Ingat jika P_1 atau P_2 membentuk (ax + b), perlu untuk membagi H(x) atau H_0(x) dengan a untuk mendapatkan hasil baginya.

Contoh Soal : 



TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR (+ CONTOH SOAL)

A. Teorema Sisa

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini : 


  1. Dalil Sisa / Teorema Sisa

Misalkan  dibagi  dengan hasil bagi  dan sisa , maka diperoleh hubungan : 


Jika  berderajat n dan  pembagi berderajat m, dengan , maka : 

  •  berderajat
  •  berderajat maksimum

Teorema untuk Sisa adalah : 

  1. Jika f(x) berderajat n dibagi dengan (x - k) maka sisanya S = f(k). Sisa f(k) adalah nilai suku banyak untuk x = k.
  2. Jika f(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya S = f(-\frac{b}{a}). Sisa  f(-\frac{b}{a}) adalah nilai untuk x = -\frac{b}{a}.
  3. Pembagi berderajat m \ge 2 yang dapat difaktorkan maka sisanya berderajat (m - 1).

Untuk lebih jelasnya, perhatikan langkah-langkah dalam mengerjakan soal : 


Carilah sisa pembagi suku banyak  dengan

Pembahasan : 

     a.) Menggunakan Subtitusi

     b.) Menggunakan Skema (Bagan) dengan Pembagian 

Jadi, sisanya menggunakan Teorema Sisa. 

Contoh Soal Lainnya : 



  2. Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak

Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3), sisanya adalah....
A. 8x + 8
B. 8x − 8
C. −8x + 8
D. −8x − 8
E. −8x + 6

(Soal UN Tahun 2007)

Pembahasan : 

Misal sisa pembagian dari f(x) dirumuskan S(x) = ax + b
Dibagi dengan (x – 2) sisanya 24 artinya:
x – 2 = 0
x = 2

S(x) = ax + b
24 = 2a + b ..........(Persamaan 1)

Dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20 artinya:
2x – 3 = 0
x = 3/2

S(x) = ax + b
20 = 3/2 a + b ..........(Persamaan 2)

Gabungkan persamaan 1 dan 2

24 = 2a    +  b
20 = 3/2 a +  b
______________ −
4 = 1/2 a
a = 8

24 = 2a + b
24 = 2(8) + b
24 = 16 + b
b = 8

Contoh Soal Lainnya : 



B. Teorema Faktor

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini : 


Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak dengan (x - k) adalah faktornya jika dan hanya jika f(x) = 0. Teorema faktor dapat dibaca sebagai berikut:

  • Jika (x - k) faktor dari f(x), maka f(x) = 0.
  • Jika f(k) = 0, maka (x - k) merupakan faktor dari f(x).

Contoh, menentukan faktor-faktor dari f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6. Konstanta -6 memiliki faktor-faktor yang terdiri dari \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6. Dengan metode bagan di atas atau metode substitusi bisa diketahui nilai agar f(x) = 0.

f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = 0 (faktor)

f(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - 5(1) - 6 = -8 (bukan faktor)

f(2) = (2)^3 + 2(2)^2 - 5(2) - 6 = 0 (faktor)

f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) - 6 = 0 (faktor)

Sehingga faktor-faktornya adalah (x+1)(x - 2), dan (x + 3).


Contoh Soal : 




AKAR-AKAR PERSAMAAN SUKU BANYAK (+ CONTOH SOAL)

(x - k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika k adalah akar dari persamaan f(x) = 0.

Jika a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x^1 + a_0 dengan p≠0 adalah nilai nol dari f(x) maka p adalah pembagi a_0.

Jika f(x) memiliki akar \frac{p}{q} (pecahan murni) dengan q \ne 0, maka p adalah pembagi a_0 dan q adalah pembagi a_n.

Sifat-sifat Akar Suku Banyak

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini : 



  1. Persamaan Kuadrat

Jika x_1 dan x_2 adalah akar persamaan ax^2 + bx + c = 0, maka

  • x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
  • x_1.x_2 = \frac{c}{a}


  2. Persamaan Kubik / Pangkat Tiga

Jika x_1,x_2 dan x_3 adalah akar persamaan ax^3 + bx^3 + cx + d = 0, maka:

  • x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}
  • x_1.x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a}
  • x_1.x_2.x_3 = -\frac{d}{a}


  3. Persamaan Pangkat Empat

Jika x_1,x_2,x_3 dan x_4 adalah akar persamaan ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, maka:

  • x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}
  • x_1.x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 = \frac{c}{a}
  • x_1.x_2.x_3 + x_1.x_2.x_4 + x_1.x_3.x_4 + x_2.x_3.x_4 = -\frac{d}{a}
  • x_1.x_2.x_3.x_4 = \frac{e}{a}

Contoh Soal : 

KETERANNGAN : Contoh Soalnya ada di dalam Video dari Youtube di atas



CONTOH SOAL LAINNYA YANG BERHUBUNGAN DENGAN PERSAMAAN SUKU BANYAK

Contoh Soal Menentukan Akar-akar Suku Banyak : 





Demikianlah semoga membantu khususnya untuk menyelesaikan soal Mata Pelajaran Matematika Perminatan Kelas 11.

Mohon maaf apabila ada sedikit Kesalahan, baik itu Salah Kata, ataupun Salah menulis Rumus.Terima Kasih 😀👍 :)

Wassalammu‘alaikum wr. wb.

Ads